二阶声波方程的CPML实施新方法

时域有限差分 (TDFD) 方法是地震波场模拟的主要方法。由于计算机的内存硬件限制和计算成本，只能在有限模型空间内进行有限差分 (FD) 波场数值模拟。因此，需要吸收边界条件来衰减来自边界产生的反射波。很多研究学者研究了不同的边界条件处理方法，其中完美匹配层 (PML) 吸收边界条件具有吸收效果好较稳定的优点，被广泛的应用于各向同性和各向异性介质，声波和弹性波的数值模拟和成像中。非分裂波场式 CPML 吸收边界条件是 PML 方法的进一步发展，可以提高对于近切入射波和低频波的吸收效果。

CPML方法被广泛用于一阶波动方程。对于二阶方程系统，非分裂场PML/CPML的实施有两种方式。第一类方式是将二阶方程组转化为等价的一阶方程组，通过引入辅助微分方程或CPML方法来进行有限差分波场数值模拟。本质上这种方法属于一阶波动方程的 CPML 实施方式。第二种方法是改写原始CPML控制的波动方程为新的二阶波动方程，通过引入辅助微分方程或CPML方法来实施。

这些方法缺点是需要引入辅助方程或者辅助变量和改写CPML控制的原始方程，一定程度上复杂化了二阶方程的 CPML 实施过程。文中提出了一种二阶声波方程非分裂式 CPML 实施的新方法，通过在原始空间导数上添加校正项来计算拉伸坐标下的空间导数来直接数值模拟 CPML 控制的波动方程，从而避免改写 CPML 控制方程或者引入辅助方程等。仅需要简单地计算一阶空间导数两次便可以实现波场在PML区域的衰减。这种方法被称为两步 CPML，简称为 TS-CPML。

图1展示了传统的CPML和TS-CPML对于二阶声波方程边界反射波的吸收效果。图1a为四个时刻的波场快照，时刻分别为1.5、2.0、2.5和4.5s;上行为传统的CPML边界条件下模拟的波场快照，下行为TS-CPML边界条件下模拟的波场快照。图1b展示了参考的单道地震记录和传统的CPML吸收边界条件以及TS-CPML吸收边界条件下的单道地震记录, 三条曲线很好的叠合在一起, 体现了传统的CPML吸收边界条件以及TS-CPML吸收边界条件的有效性; 局部放大图形为两种吸收边界条件下的地震记录和参考地震记录之间的差值, 从差值对比可以看出TS-CPML具有更好的吸收效果。

 

更多详情请阅原文：

Fang X, Niu F. 2021. An unsplit complex frequency-shifted perfectly matched layer for second-order acoustic wave equations. Science China Earth Sciences, 64(6): 992-1004, https://doi.org/10.1007/s11430-021-9784-7

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