image: A mathematician from RUDN University developed a matrix representation of set functions. This approach is vivid and easy to check, and it makes the calculations easier. Among other things, the new development can be applied to cooperative game theory. view more
Credit: RUDN University
Un matemático de RUDN University desarrolló un método matricial para representar funciones de conjuntos. Este enfoque es más claro desde el punto de vista computacional, hace que los cálculos sean más sencillos y fáciles de probar. Los resultados se pueden aplicar, en particular, en la teoría de juegos cooperativos. Los resultados fueron publicados en la revista Information Sciences.
La teoría de juegos cooperativos busca formas para tomar decisiones complejas en una situación con una gran cantidad de criterios, donde grupos de jugadores, o coaliciones, deben encontrar la solución más conveniente. Las funciones de conjunto sirven como herramienta para trabajar en esta teoría. Los datos iniciales de estas funciones son un grupo de elementos, es decir, conjuntos. Estos elementos pueden adquirir diferentes valores. Debido a que en la vida real nos encontramos con preguntas simples e inequívocas, los datos sobre elementos individuales pueden apoyarse y reforzarse entre sí o, por el contrario, neutralizarse. Por tanto, las combinaciones de elementos (coaliciones) pueden asumir sus propios valores. Para trabajar con este aparato matemático, se necesita un lenguaje matemático intuitivo. De tal manera, un matemático de Universidad RUDN trabajó en esta tarea.
"Hemos contribuido al desarrollo del lenguaje matemático en la teoría de juegos cooperativos basándonos en conceptos conocidos, tales como matrices y vectores. Creamos un enfoque formal para manipular funciones de conjuntos a partir de álgebra lineal. Estos resultados se pueden usar en el análisis de multicriterio en la toma de decisiones, toma de decisiones grupales, operaciones con metas dependientes, teorías económicas basadas en juegos cooperativos, teorías de funciones agregadas", dijo Gleb Beliakov, Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas, catedrático de RUDN University.
El científico debía encontrar un enfoque universal para que las expresiones fueran comprensibles y manejables para matemáticos, ingenieros, informáticos y economistas por igual. Las operaciones de álgebra lineal que se basan en matrices son las más adecuadas para esto. Las operaciones con matrices están incorporadas en los equipos computacionales y también son adecuadas para la computación en paralelo.
El matemático obtuvo expresiones matriciales cuando usó la expresión de la derivada de una función de conjunto. Esta derivada permite evaluar cómo cambia una función cuando cambian sus variables. Por tanto, calcular la derivada ayuda a analizar correctamente la situación. Por ejemplo, el procesamiento del conjunto potencia, el conjunto de todos los subconjuntos, en álgebra lineal simplifica los métodos de cálculo y facilita la implementación eficaz de muchas fórmulas. Además, el matemático de RUDN University también propuso nuevas fórmulas para encontrar el valor de Shapley, una variante de "división justa", en la que el beneficio de cada jugador es igual a su contribución promedio a las coaliciones correspondientes. De esta forma, es más conveniente buscar el valor de Shapley en aplicaciones prácticas.
"Las funciones de conjunto se pueden aplicar en economía, en el campo de toma de decisiones y en la lógica difusa e investigación de operaciones. El conjunto potencia, en particular, es bastante adecuado para modelar entre variables iniciales en juegos corporativos. El aparato matemático desarrollado simplificará los cálculos y facilitará la implementación de muchas fórmulas utilizando paquetes computacionales de álgebra lineal existentes", expresó Gleb Beliakov, Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas, catedrático de RUDN University.
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